一、圆的面积公式及其推导过程

1、把一个圆平均分成若干偶数等份，再通过拼接的方式将其拼接成一个近似的长方形。

这个长方形的长相当于圆的周长的一半【C÷2=πr】，长方形的宽相当于圆的半径【r】。

那么圆的面积=长方形的面积=长×宽=πr·r。

2、根据圆的面积公式可以推出，只要只要圆的半径或直径，就能计算出圆的面积；

反之，只要知道圆的面积，就能计算出圆的半径和直径；

或者已知圆的周长，也可以先计算出直径或半径，然后在计算面积。

具体公式整理如下：

3、半圆的面积：半圆的面积=圆的面积÷2=πr·r÷2。

4、圆环的面积=外圆面积-内圆面积=πR·R-πr·r=π（R·R-r·r）

5、圆环的环宽（L）与内圆半径（r）、外圆半径（R）之间的关系：

环宽+内圆半径=外圆半径；外圆半径-环宽=内圆半径。

圆的面积 常考题型和难点题型

类型一、与圆的面积公式推导过程有关的题型

【例1】、把一个圆平均分成若干偶数等份，再拼成一个近似长方形，已知圆的半径是4厘米，那么长方形的长是多少？

【解析】考察面积公式的推导过程，长方形的长相当于圆的周长的一半=πr。

r=4cm，所以长=3.14×4=12.56cm

【总结】：面积公式的推导过程，一定要牢记【长方形的长=πr，宽=r】

【例2】、把一个圆平均分成若干偶数等份，再拼成一个近似长方形。量出长方形的长是12.56

厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？

【解析】已知长方形的长=πr=12.56，那么r=12.56÷3.14=4cm；

圆的面积=3.14×4×4=50.24平方厘米。

【例3】、在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形，已知长方形的长比宽多6.42厘米，圆的面积是多少平方厘米？

【解析】长方形的长=πr，宽=r，已知长方形的长比宽多6.42厘米，

也就是πr-r=r(π-1)=2.14r=6.42，可求出r=3cm。

那么圆的面积=3.14·3·3·=28.26平方厘米。

【例4】、把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的周长比圆的周长多8厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？

【解析】长方形的长=πr，宽=r，所以长方形的周长=（πr+r）×2=2πr+2r，圆的周长是2πr。

已知长方形的周长比圆的周长多8厘米，也就是2πr+2r-2πr=2r=8cm，所以r=4cm。

圆的面积=3.14×4×4=50.24平方厘米。

【总结】面积公式的推导过程，一定要牢记【长方形的长=πr，宽=r】。

【例5】、把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似长方形。若圆的面积是50.24平方厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

【解析】、把圆重新拼成长方形的过程中，圆的面积=长方形的面积=50.24平方厘米。

阴影部分的面积=长方形面积-1/4圆的面积=圆的面积=1/4圆的面积=50.24-50.24×1/4=37.68平方厘米。

【提示】、这类题型要把握好圆的面积公式推导过程中，圆和长方形之间的关联，解题就非常简单。当然，先算出圆的半价，再计算长方形的面积也可以，只不过过程比较麻烦。

类型二、圆的面积与实际问题相结合

【例6】、一个圆形花坛，直径是20米，在它的外围修一条宽2米的石子小路，这条小路的面积是

多少平方米？

【解析】、求圆环的面积，r=20÷2=10米，R=10+2=12米；

圆环的面积=3.14×（12×12=10×10）=138.16平方米。

【总结】、在圆形物体的外围修路、铺草坪，形成的就是圆环，路宽就是环宽，直接用圆环面积公式计算即可。

【例7】、有一个环形铁片，它的内圆周长是62.8厘米，外圆周长是94.2厘米，这个铁片的面积是多少平方厘米？

【解析】要求环形的面积，需要知道外圆半径和内圆半径，所以先根据周长算出半径。

内圆半径=62.8÷3.14÷2=5厘米；外圆半径=94.2÷3.14÷2=15厘米；

所以圆环面积=3.14×（12×12=10×10）=138.16平方厘米。

【例8】、将一个半径5厘米的圆形铁片，加工成半径为4厘米的圆形铁片零件，铁片的面积减少了多少平方厘米？

【解析】原来铁片半径5cm，加工后变成4cm，那么减少的部分就是一个宽度为1cm的圆环，直接用圆环面积公式计算即可：

减少的面积=3.14×（5·5-4·4）=28.26平方厘米。